约瑟夫问题的N种解法
mooktian
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2023-08-10 20:06:14
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科技·工程
1 问题的历史以及不同的版本
1.1
约瑟夫环（Josephus）问题是由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。
1.2
17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒.
1.3
有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1 开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入ｎ，ｍ后，输出最后猴王的编
号。
1.4
编号为1,2,3,…,n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。一开始任选一个正整数作为报数的上限值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数,报到m时停止。报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向上的下一人开始重新从1报数，如此下去，直到所有人全部出列为止。编程打印出列顺序。
2 问题的解法
2.1 数组解法
建立一个数组并且初始化所有的元素为1，然后开始遍历数组，遇到符合条件的就把数组中对用的元素设置为0，并且在下次循环的时候不把0包括在内。
程序如下所示：
#include
using namespace std;
void main()
{
cout<<"Pleaseinput the total number n and selected number m"< intn,m; cin>>n>>m; if(n<2 || m<1 ) { cout<<"n is at least equal to 2 and m must bigger than0"< cin>>n>>m; } int*pArr = new int[n]; for(int i=0;i pArr[i] = i+1; inti=0; intj=0; intk=0; while(k { if(pArr[i] !=0 ) j++; if(j==m ) { j=0; cout< pArr[i]=0; k++; } if(i i++; else i=0; } delete[]pArr; } 2.2 循环链表解法 这个是最显而易见的想法，遇到符合条件的节点就将其删除并且输出对应的编号 程序如下： 链表创建： #ifndef DDXX_LINK_H #define DDXX_LINK_H #include #include using namespace std; struct Node { int nId; Node *next; }; Node* InitLink(int num); #endif #include "Link.h" Node* InitLink(int num) { if(num<1) { std::cout<<"The link is must be longer than 1"< return NULL; } Node* head = new Node; head->nId=1; head->next = NULL; Node* ptr = head; int cnt = 1; while( cnt { ptr->next = new Node; if(ptr == NULL) return NULL; ptr->next->next = head; ptr->next->nId = ++cnt; ptr = ptr->next; } return head; } 测试： #include "Link.h" using namespace std; void main() { cout<<"Pleaseinput the total number n and the selected m"< intn,m; cin>>n>>m; if(n<2 || m<1) { cout<<"n is at least equal to 2 and m is must bigger than0"< cin>>n>>m; } Node *head = InitLink(n); if(head== NULL) { cout<<"Init linklist failed"< return; } intk=0; inti=0; Node *ptr = head; Node *p = NULL; while(k { if(i { i++; p = ptr; ptr = ptr->next; } else { cout< p->next =ptr->next; Node* ptmp = ptr; ptr = ptr->next; delete ptmp; ptmp = NULL; k++; i=0; } } } 2.3 递推解法 n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编。 我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 并且从k开始报0。 现在我们把他们的编号做一下转换： k --> 0 k+1 --> 1 k+2 --> 2 ... ... k-2 --> n-2 k-1 --> n-1 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n 如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n] 递推公式 f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1) 实现程序如下所示： #include using namespace std; void main() { int n; int m; cout<<"Pleaseint n for total number and m for selected number"< cin>>n>>m; if(n<2|| m<=0) { cout<<"n is at least equal to 2 and m must be bigger than0"< cin>>n>>m; } int s =0; for(int i=2;i<=n;i++) s = (s + m) % i; cout<<"Theleft number is(0 based): "< } ———————————————— 版权声明：本文为CSDN博主「eskimoer」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。 原文链接：https://blog.csdn.net/ddupd/article/details/39397823#include