再理解：零空间、行空间、列空间、左零空间、基础解系、极大线性无关组、齐次解、非齐次解之间的关系
1.再理解：零空间、行空间、列空间、左零空间、基础解系、极大线性无关组、齐次解、非齐次解之间的关系1.1 零空间（Null Space，
N
(
A
)
N(A)
N(A)）1.2 行空间（Row Space，
C
(
A
T
)
C(A^T)
C(AT)）1.3 零空间与行空间1.4 列空间（Column Space，
C
(
A
)
C(A)
C(A)）1.5 左零空间（Left Nullspace，
N
(
A
T
)
N(A^T)
N(AT)）1.6 列空间与左零空间1.7 各个空间之间的关系1.8 基础解系、极大线性无关组1.9 齐次与非齐次方程组的解
1.再理解：零空间、行空间、列空间、左零空间、基础解系、极大线性无关组、齐次解、非齐次解之间的关系
笔记来源：This is what matrices (and matrix manipulation) really look like
本人博客：计算矩阵的秩、行空间、列空间、零空间、左零空间
本人博客：3Blue1Brown系列：逆矩阵、秩、列空间、零空间
本人博客：从线代角度图解：通解、特解、非齐次通解、非齐次特解、齐次通解、齐次特解
推荐文章：线代-- 研究矩阵四大子空间的意义
此篇文章仅以方阵为例
1.1 零空间（Null Space，
N
(
A
)
N(A)
N(A)）
齐次线性方程组 方程组的矩阵表示 注意此矩阵为
A
A
A
A
x
⃗
=
0
⃗
A\vec{x}=\vec{0}
Ax
=0
方程组解的角度： 上面三个方程分别对应三个平面，三个平面交于一线，这条交线上的每个点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)代入三个方程都会使得三个方程为0，即交线上每个点均为三个方程的解，这些点（解）构成了矩阵A的零空间 线性变换的角度： 线性变换前的空间内所有点，在经过矩阵A的变换后，在上图交线中的所有点都被压缩到原点
矩阵A的零空间
1.2 行空间（Row Space，
C
(
A
T
)
C(A^T)
C(AT)）
非齐次线性方程组 方程组的矩阵表示 注意此矩阵为
A
T
A^T
AT
A
T
y
⃗
=
b
⃗
A^T\vec{y}=\vec{b}
ATy
=b
将上式化为矩阵
A
A
A乘以某个向量的形式
A
T
y
⃗
=
b
⃗
(
A
T
y
⃗
)
T
=
b
⃗
T
y
⃗
T
A
=
b
⃗
T
A^T\vec{y}=\vec{b}\\ ~\\ (A^T\vec{y})^T=\vec{b}^T\\ ~\\ \vec{y}^TA=\vec{b}^T
ATy
=b
(ATy
)T=b
T y
TA=b
T 矩阵左乘向量 下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（2）：行空间
我们观察一下矩阵
A
A
A 的行向量与零空间中的向量之间的关系
矩阵
A
A
A的三个行向量张成行空间，白线为矩阵
A
A
A的零空间，我们发现行空间⊥零空间
1.3 零空间与行空间
零空间⊥行空间
1.4 列空间（Column Space，
C
(
A
)
C(A)
C(A)）
非齐次线性方程组 方程组的矩阵表示 注意此矩阵为
A
A
A
A
x
⃗
=
b
⃗
A\vec{x}=\vec{b}
Ax
=b
矩阵右乘向量 下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（2）：行空间 上图中列空间是由矩阵A的三个列向量线性组合张成的空间
我们将矩阵A的三个空间放在一起看看它们之间的关系
1.5 左零空间（Left Nullspace，
N
(
A
T
)
N(A^T)
N(AT)）
非齐次线性方程组 方程组的矩阵表示 注意此矩阵为
A
T
A^T
AT
A
T
y
⃗
=
0
⃗
A^T\vec{y}=\vec{0}
ATy
=0
将上式化为矩阵
A
A
A乘以某个向量的形式
A
T
y
⃗
=
0
⃗
(
A
T
y
⃗
)
T
=
0
⃗
T
y
⃗
T
A
=
0
⃗
T
A^T\vec{y}=\vec{0}\\ ~\\ (A^T\vec{y})^T=\vec{0}^T\\ ~\\ \vec{y}^TA=\vec{0}^T
ATy
=0
(ATy
)T=0
T y
TA=0
T 上面这些式子中
y
⃗
T
A
=
0
⃗
T
\vec{y}^TA=\vec{0}^T
y
TA=0
T 解向量
y
⃗
T
\vec{y}^T
y
T 在矩阵
A
A
A的左侧，从这里体现了“左”字 矩阵
A
A
A的左零空间就是矩阵
A
T
A^T
AT的零空间
1.6 列空间与左零空间
左零空间⊥列空间
1.7 各个空间之间的关系
零空间与行空间正交 列空间与左零空间正交 下面第一张图来自：线性代数“正交”全家桶(2) ：正交子空间
对任一矩阵
A
m
×
n
A_{m×n}
Am×n 都有
Row Rank
=
Column Rank
=
Rank
\text{Row Rank}=\text{Column Rank}=\text{Rank}
Row Rank=Column Rank=Rank 行空间：
im
(
A
T
)
\text{im}(A^T)
im(AT) 零空间：
ker
(
A
)
\text{ker}(A)
ker(A) 列空间：
im
(
A
)
\text{im}(A)
im(A) 左零空间：
ker
(
A
T
)
\text{ker}(A^T)
ker(AT) 行空间和零空间构成
n
n
n维空间 列空间和左零空间构成
m
m
m维空间
1.8 基础解系、极大线性无关组
个人理解：行空间、零空间、列空间、左零空间都是由对应线性方程组的所有解构成的空间，由于每个解为一个点，此点与原点构成向量，也可以说线性方程组的解向量构成了上述空间，一句话概括：这些空间都是对应线性方程组的解空间 解向量的极大线性无关组就是基础解系（基础解系相当于解空间的基），基础解系通过线性组合得到所有解向量，即所有解向量都可以由基础解系线性表示
1.9 齐次与非齐次方程组的解
零空间和左零空间就是齐次方程组的解所构成的空间 行空间和列空间就是非齐次方程组的解所构成空间
A
x
⃗
=
b
⃗
A\vec{x}=\vec{b}
Ax
=b
的解集是一个和
A
x
⃗
=
0
⃗
A\vec{x}=\vec{0}
Ax
=0
的解空间相平行的结构，该结构是Ax=0的解空间沿着一个特解方向平移的结果 --摘自：非齐次线性方程组通解的结构如何理解？
下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（3）：零空间 具体详见本人博客：从线代角度图解：通解、特解、非齐次通解、非齐次特解、齐次通解、齐次特解